【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx-ln x,b∈R.
(1)若b<0,且存在區(qū)間M,使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調性,求實數(shù)b的取值范圍;
(2)若F(x+1)>b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】(1)(-∞,-2).(2)[1,+∞).
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)f(x)的導函數(shù),由導函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調區(qū)間,再求出函數(shù)F(x)的導函數(shù),由b<0,可得F′(x)<0,則F(x)在定義域(0,+∞)上為減函數(shù),要使存在區(qū)間M,使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調性,需>0,求解可得b的范圍;(2)由F(x+1)>b對任意x∈(0,+∞)恒成立,可得bx﹣ln(x+1)>0對任意x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=bx﹣ln(x+1),求導可得b≤0時, 0<b<1時, b≥1時,這幾種情況下的函數(shù)最值,求得參數(shù)范圍。
解析:
(1)f′(x)=ex(2x+b+2),
由f′(x)<0得x<;由f′(x)>0得.
F(x)的定義域為(0,+∞),且F′(x)=b-,
∵b<0,∴F′(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上單調遞減.
∵f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調性,
∴>0,得b<-2,即實數(shù)b的取值范圍是(-∞,-2).
(2)由F(x+1)>b得ln(x+1)-bx<0.
∵x>0, 在x∈(0,+∞)上恒成立.
設g(x)=ln(x+1)-x,則g′(x)=-1<0,
∴g(x)在(0,+∞)上遞減,∴g(x)<g(0)=0.
∴ln(x+1)-x<0,即<1,∴b≥1.
因此實數(shù)b的取值范圍是[1,+∞).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面五邊形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=,cos∠EDC=.將△CDE沿CE折起,使點D移動到P的位置,且AP=,得到四棱錐P-ABCE.
(1)求證:AP⊥平面ABCE;
(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l,求證:AB∥l.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設向量, ,記
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)試用“五點法”畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的簡圖,并指出該函數(shù)的圖象可由y=sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+m, 的最小值為2,試求出函數(shù)g(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸方程;
(2)求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的最小正周期和值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(導學號:05856284)
在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=b(1+2cosA).
(Ⅰ)求證:A=2B;
(Ⅱ)若a=,B=,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四棱錐PABCD的三視圖如圖所示,四棱錐PABCD的五個頂點都在一個球面上, E,F分別是棱AB,CD的中點,直線EF被球面所截得的線段長為2 ,則該球的表面積為
A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(導學號:05856334)
已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+1.
(Ⅰ)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當a>0時,證明:存在正實數(shù)λ,使得λ恒成立.
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