【題目】(導(dǎo)學(xué)號:05856334)
已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+1.
(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時,證明:存在正實數(shù)λ,使得λ恒成立.
【答案】(1) 函數(shù)f(x)有極大值,無極小值(2)見解析
【解析】試題分析:(1)運用求解導(dǎo)數(shù)得出f′(x)=+2ax,x>0,判斷(0, )單調(diào)遞增,( ,+∞)單調(diào)遞減,
得出f(x)極大值=f()=ln+,無極小值.
(2)構(gòu)造g(x)=,當(dāng)a>0時g(x)的定義域為R,
g′(x)=,g′(x)==0,x1=1,x2=1,
判斷得出g(x)在(﹣∞,x1)(x2,+∞)單調(diào)遞增,(1,2)單調(diào)遞減,求解得出極值,得出存在常數(shù)M,得出不等式恒成立.
試題解析:
(Ⅰ)依題意,f(x)=ln x-x2+1,x∈(0,+∞),f′(x)==,
故當(dāng)x∈(0,)時,f′(x)>0,
當(dāng)x∈(,+∞)時,f′(x)<0,
故函數(shù)f(x)有極大值f()=ln-+1=-ln 2+,無極小值.
(Ⅱ)令g(x)== (x>0,a>0),
g′(x)=,令g′(x)=0,解得x1=1-<0(舍去),x2=1+>1,
當(dāng)x變化時,g′(x)與g(x)的變化情況如下表:
x | (0,x2) | x2 | (x2,+∞) |
g′(x) | - | 0 | + |
g(x) | ↘ | ↗ |
所以函數(shù)g(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,x2)上單調(diào)遞減.
又因為g(1)=0,當(dāng)0<x<1時,g(x)=>0;當(dāng)x>1時,g(x)=<0,
所以當(dāng)0<x≤1時,0≤g(x)<g(0)=1;當(dāng)x>1時,g(x2)≤g(x)<0.
記M為1,|g(x2)|中最大的數(shù),則||≤λ恒成立M≤λ.
綜上,當(dāng)a>0時,存在正實數(shù)λ∈[M,+∞),使得對任意的實數(shù)x,不等式||≤λ恒成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx-ln x,b∈R.
(1)若b<0,且存在區(qū)間M,使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性,求實數(shù)b的取值范圍;
(2)若F(x+1)>b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前n項和為,已知(p、q為常數(shù), ),又, , .
(1)求p、q的值;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)是否存在正整數(shù)m、n,使成立?若存在,求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對;若不存在,說明理由.
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【題目】(導(dǎo)學(xué)號:05856311)[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
已知曲線C1: (α為參數(shù))與曲線C2:ρ=4sin θ(θ為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)求C1和C2公共弦的長度.
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【題目】(導(dǎo)學(xué)號:05856325)已知函數(shù)f(x)=+eln x,直線l:y=kx(k≠0)與函數(shù)f(x)的圖象相切于點A(t,f(t))(f(t)≠0),則( )
A. t∈(0,1) B. t∈(1,e) C. t∈(e,3) D. t∈(3,e2)
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【題目】【2018屆吉林省普通中學(xué)高三第二次調(diào)研】設(shè)橢圓的左焦點為,右頂點為,離心率為,短軸長為,已知是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(2)若拋物線的準線上兩點關(guān)于軸對稱,直線與橢圓相交于點(異于點),直線與軸相交于點,若的面積為,求直線的方程.
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【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓的頂點, 為橢圓的左焦點且橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右頂點作斜率為的直線交橢圓于另一點,連結(jié)并延長交橢圓于點,當(dāng)的面積取得最大值時,求的面積.
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【題目】“中國人均讀書4.3本(包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書),比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多,是世界上人均讀書最少的國家.”這個論斷被各種媒體反復(fù)引用,出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計結(jié)果無疑是令人尷尬的,而且和其他國家相比,我國國民的閱讀量如此之低,也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣,特舉辦讀書活動,準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站,由于不同年齡段需看不同類型的書籍,為了合理配備資源,現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查,隨機抽取了一天40名讀書者進行調(diào)查,將他們的年齡分成6段: , , , , , 后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問:
(1)估計在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù);
(2)求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)若從年齡在的讀書者中任取2名,求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.
(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,并說明曲線的形狀;
(2)若直線經(jīng)過點,求直線被曲線截得的線段的長.
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