Question

20．已知動圓M過定點F（0，-1），且與直線y=1相切，圓心M的軌跡為曲線C，設(shè)P為直線l：x-y+2=0上的點，過點P作曲線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點P（x₀，y₀）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；
（Ⅲ）當(dāng)點P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設(shè)M（x，y），由兩點間的距離公式可得軌跡C的方程；
（Ⅱ）求出切線PA，PB的方程，利用切線PA，PB均過P（x₀，y₀），可得A，B的坐標(biāo)是方程x₀x+2y+2y₀=0的兩組解，從而可求直線AB的方程；
（Ⅲ）由拋物線定義可知|AF|=1-y₁，|BF|=1-y₂，表示出|AF|•|BF|，利用配方法可求|AF|•|BF|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}=|y-1|$，
化簡得：x²=-4y，
∴曲線C的方程為x²=-4y；
（Ⅱ）拋物線方程可化為$y=-\frac{{x}^{2}}{4}$，求導(dǎo)得${y}^{′}=-\frac{1}{2}x$，設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則切線PA，PB的斜率分別為$-\frac{1}{2}{x}_{1}$，$-\frac{1}{2}{x}_{2}$，
∴PA的方程為$y-{y}_{1}=-\frac{{x}_{1}}{2}（x-{x}_{1}）$，即x₁x+2y+2y₁=0．
同理PB的方程為x₂x+2y+2y₂=0，
∵切線PA，PB均過P（x₀，y₀），
∴x₁x₀+2y₀+2y₁=0，x₂x₀+2y₀+2y₂=0．
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）為方程x₀x+2y+2y₀=0的兩組解，
∴直線AB的方程為x₀x+2y+2y₀=0；
（Ⅲ）由拋物線定義可知|AF|=1-y₁，|BF|=1-y₂，
∴|AF|•|BF|=（1-y₁）（1-y₂）=1-（y₁+y₂）+y₁y₂．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=-4y}\\{{x}_{0}x+2y+2{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，整理得：${y}^{2}+（2{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}）y+{{y}_{0}}^{2}=0$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-（2{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}），{y}_{1}{y}_{2}={{y}_{0}}^{2}$．
∴|AF|•|BF|=$1+（2{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}）+{{y}_{0}}^{2}$．
∵點P在直線l上，
∴x₀=y₀-2．
∴|AF|•|BF|=$2{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}+5$=$2（{y}_{0}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{2}$．
∴當(dāng)${y}_{0}=\frac{1}{2}$時，|AF|•|BF|取得最小值，最小值為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查拋物線的切線方程，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于難題．