Question

函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d，x∈（0，1）時(shí)取極大值，x∈（1，2）取極小值，則（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答： 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）在x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取極小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

c＞0 3+2b+c＜0 12+4b+c＞0

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
（b+

1

2

）²+（c-3）²的幾何意義表示點(diǎn)G（-

1

2

，3）與可行域內(nèi)的點(diǎn)連線的距離的平方，
點(diǎn)G（-

1

2

，3）到直線3+2b+c=0的距離為d=

|- 1 2 ×2+3+3|

22+1

=

5

5

=

5

，此時(shí)（b+

1

2

）²+（c-3）²最小為5，
由

12+4b+c=0 3+2b+c=0

，解得

b=- 9 2 c=6

，即A（-

9

2

，6），
此時(shí)AG的距離最大為AG=5，此時(shí)（b+

1

2

）²+（c-3）²最大為25，
∴（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范圍是（5，25），
故答案為：（5，25）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義將條件轉(zhuǎn)化為不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．