Question

14．已知函數(shù)f（x）=2x²+alnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=f（x）-4x+2存在兩個極值點，且x₀是函數(shù)g（x）的極小值點，求證：$g（{x_0}）＞\frac{1}{2}-ln2$．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)求導，利用導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求解．
（2）利用條件x₀是函數(shù)f（x）的極值點，確定a的數(shù)值，然后證明：$g（{x_0}）＞\frac{1}{2}-ln2$．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
（1）$f'（x）=4x+\frac{a}{x}=\frac{{4{x^2}+a}}{x}$，
當a≥0，f'（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＜0時，令f'（x）=0，得$x=\frac{{\sqrt{-a}}}{2}$或$x=-\frac{{\sqrt{-a}}}{2}$（不合題意，舍去），
則當$x∈（{0，\frac{{\sqrt{-a}}}{2}}）$時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在$（{0，\frac{{\sqrt{-a}}}{2}}）$上單調(diào)遞減，
當$x∈（{\frac{{\sqrt{-a}}}{2}，+∞}）$時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在$（{\frac{{\sqrt{-a}}}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
（2）∵g（x）=2x²-4x+2+alnx，
∴$g'（x）=4x-4+\frac{a}{x}=\frac{{4{x^2}-4x+a}}{x}$，
∵函數(shù)g（x）存在兩個極值點，設兩個極值點為x₁，x₀，
∴x₁，x₀是方程4x²-4x+a=0的兩根，
∴△=16-16a＞0，0＜a＜1，且x₁+x₀=1，
∵函數(shù)y=4x²-4x+a開口向上，與x軸交于兩點，x₀是函數(shù)g（x）的極小值點，
∴x₁＜x₀，從而$\frac{1}{2}＜{x_0}＜1$，
由$4x_0^2-4{x_0}+a=0$，得$a=-4x_0^2+4$，x₀∈（0，1），
$g（{x_0}）=2{（{{x_0}-1}）^2}+（{4{x_0}-4x_0^2}）ln{x_0}$，
設$h（t）=2{（{t-1}）^2}+（{4t-4{t^2}}）lnt（{\frac{1}{2}＜t＜1}）$，
∵h'（t）=4（1-2t）lnt＞0，
∴h（t）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上遞增，
∴$h（t）＞h（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-ln2$，
∴$g（{x_0}）＞\frac{1}{2}-ln2$．

點評 本題的考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值問題．對于參數(shù)問題要注意進行分類討論，屬于中檔題．