Question

3．對任意實數(shù)a，b定義運算“⊙”：a⊙$b=\left\{\begin{array}{l}{a，a-b≤2}\\{b，a-b＞2}\end{array}\right.$，設f（x）=3^x+1⊙（1-x），若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=x²-6x在區(qū)間（m，m+1）上均為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，2]
• B． （0，3]
• C． [0，2]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由已知可得：f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，函數(shù)g（x）=x²-6x在（-∞，3]上為減函數(shù)，由函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=x²-6x在區(qū)間（m，m+1）上均為減函數(shù)，可得答案．

解答 解：令3^x+1-（1-x）=2，
則x=0，
故f（x）=3^x+1⊙（1-x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+1，x≥0\\{3}^{x+1}，x＜0\end{array}\right.$，
故f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，
又∵函數(shù)g（x）=x²-6x在（-∞，3]上為減函數(shù)，
故若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=x²-6x在區(qū)間（m，m+1）上均為減函數(shù)時，
m≥0且m+1≤3，
解得：m∈[0，2]．
故選：C

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．