Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中直線l過(guò)點(diǎn)P（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）且傾斜角為α，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中曲線C的方程為ρ²（1+sin²θ）=1，已知直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)M，N．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式代入極坐標(biāo)方程即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)直線l參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得$（1+{sin^2}α）{t^2}+（\sqrt{10}cosα）t+\frac{3}{2}=0$，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式可得|MN|．
利用△＞0．可得得$0≤{sin^2}α＜\frac{1}{4}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ²（1+sin²θ）=1得x²+2y²=1，
即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+2y²=1．
（2）設(shè)直線l參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得$（1+{sin^2}α）{t^2}+（\sqrt{10}cosα）t+\frac{3}{2}=0$，
則${t_1}+{t_2}=-\frac{{\sqrt{10}cosα}}{{1+{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{1+{{sin}^2}α}}$，
∴$|{MN}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{2\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}{{1+{{sin}^2}α}}$，
∴$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}=\frac{{|{{t_1}{t_2}}|}}{{|{{t_1}-{t_2}}|}}=\frac{{\frac{3}{{2（1+{{sin}^2}α）}}}}{{\frac{{2\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}{{1+{{sin}^2}α}}}}=\frac{3}{{4\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}$，
由題設(shè)知$△={（\sqrt{10}cosα）^2}-4（1+{sin^2}α）×\frac{3}{2}=4-16{sin^2}α＞0$得$0≤{sin^2}α＜\frac{1}{4}$，
故$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}∈（\frac{3}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．