Question

13．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t}\\{y=m+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)，m是常數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C極坐標(biāo)方程為ρ=asin（θ+$\frac{π}{3}$），點M的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{6}$），且點M在曲線C上．
（I）求a的值及曲線C直角坐標(biāo)方程；
（II ）若點M關(guān)于直線l的對稱點N在曲線C上，求|MN|的長．

Answer 1

分析 （I）將M的極坐標(biāo)代入曲線C的極坐標(biāo)方程，可得a，由兩角和的正弦公式，結(jié)合極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C直角坐標(biāo)方程；
（II ）求得曲線C表示的圓的圓心和半徑，由點M關(guān)于直線l的對稱點N在曲線C上，可得直線l經(jīng)過圓心，求得m，進而得到直線l的普通方程，運用點到直線的距離公式，可得M到直線l的距離，進而得到所求MN的長．

解答 解：（I）將點M的極坐標(biāo)（4，$\frac{π}{6}$）代入曲線C極坐標(biāo)方程ρ=asin（θ+$\frac{π}{3}$），
可得4=asin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$），解得a=4，
由ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）即ρ=4（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ），
即有ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}$ρcosθ，即為x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y=0，
即曲線C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4；
（II ）曲線C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4為圓心C（$\sqrt{3}$，1），半徑為2，
則點M關(guān)于直線l的對稱點N在曲線C上，直線l過圓C的圓心，
由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-3t}\\{1=m+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，可得m=2，t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
這時直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，消去t，可得x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，
點M的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{6}$），可得M（2$\sqrt{3}$，2），
即有M到直線l的距離為d=$\frac{|2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$，
可得|MN|的長為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程、以及參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，注意運用點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．