Question

8．已知f（x）=|x|．
（I）解關(guān)于x的不等式f（x）+f（x-2）≥3；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x+$\frac{1}{x}$）+f（x-$\frac{1}{x}$），證明：g（x）≥2．

Answer 1

分析 （I）利用絕對值的幾何意義，去掉絕對值，即可解關(guān)于x的不等式f（x）+f（x-2）≥3；
（Ⅱ）求出g（x），分類討論，證明不等式．

解答 （I）解：不等式化為|x|+|x-2|≥3，則有
x≥2時(shí)，2x-2≥3，∴x≥2.5；
0＜x＜2時(shí)，2≥3不成立；
x≤0時(shí)，2-2x≥3，∴x≤-0.5．
綜上所述，不等式的解集為{x|x≤-0.5或x≥2.5}；
（Ⅱ）證明：g（x）=f（x+$\frac{1}{x}$）+f（x-$\frac{1}{x}$）=$\left\{\begin{array}{l}{2|x|，|x|≥1}\\{\frac{2}{|x|}，0＜|x|＜1}\end{array}\right.$，
|x|≥1時(shí)，g（x）=2|x|≥2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時(shí)等號成立；
0＜|x|＜1時(shí)，g（x）=$\frac{2}{|x|}$＞2，
綜上所述，g（x）≥2．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．