Question

已知向量

a

={-1，2，3}，

b

={2，b，1}函數(shù)f（x）=-x²+（

a

•

b

）x+1，x∈[-1，2]
（1）當b為何值時，f（x）的最大值為2
（2）若f（x）在[-1，2]上為單調函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：空間向量的數(shù)量積運算,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：空間向量及應用

分析：（1）

a

•

b

=-2+2b+3=2b+1．可得函數(shù)f（x）=-x²+（

a

•

b

）x+1=-x²+（2b+1）x+1=-(x-

2b+1

2

)2+1-

(2b+1)2

4

，x∈[-1，2]．對

2b+1

2

與-1，2的大小關系分類討論即可得出．
（2）由（1）可得當

2b+1

2

≤-1時，函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上單調遞增，當

2b+1

2

≥2時，函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上單調遞減，解出即可．

解答： 解：（1）

a

•

b

=-2+2b+3=2b+1．
∴函數(shù)f（x）=-x²+（

a

•

b

）x+1=-x²+（2b+1）x+1=-(x-

2b+1

2

)2+1-

(2b+1)2

4

，x∈[-1，2]．
當

2b+1

2

≤-1時，函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上單調遞增，∴f（2）=-4+2（2b+1）+1=2，解得b=

3

4

，舍去；
當

2b+1

2

≥2時，函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上單調遞減，∴f（-1）=-1-（2b+1）+1=2，解得b=-

3

2

，舍去；
當-1＜

2b+1

2

＜2時，-

3

2

＜b＜

3

2

，而f（2）-f（1）=6b，
當0＜b＜

3

2

時，f（2）＞f（1），由f（2）=-4+2（2b+1）+1=2，解得b=

3

4

，滿足條件；
b=0時不滿足條件，舍去；
當-

3

2

＜b＜0時，f（2）＜f（1），由f（-1）=-1-（2b+1）+1=2，解得b=-

3

2

，不滿足條件，舍去．
綜上可得：b=

3

4

．
（2）由（1）可得當

2b+1

2

≤-1時，函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上單調遞增，當

2b+1

2

≥2時，函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上單調遞減．
解得b≤-

3

2

或b≥

3

2

．
∴實數(shù)b的取值范圍是b≤-

3

2

或b≥

3

2

．

點評：本題考查了數(shù)量積運算性質、二次函數(shù)的單調性，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．