Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2λsinx，sinx+cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，λ（sinx-cosx））（λ＞0）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的最大值為2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 運用向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角差的正弦公式，化簡f（x）=2λsin（2x-$\frac{π}{6}$），運用正弦函數(shù)的最值可得λ=1，運用正弦函數(shù)的減區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（2λsinx，sinx+cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，λ（sinx-cosx）），
可得函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$λ（2sinxcosx）+λ（sinx+cosx）（sinx-cosx）
=$\sqrt{3}$λsin2x-λ（cos²x-sin²x）=$\sqrt{3}$λsin2x-λcos2x=2λ（sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$）
=2λsin（2x-$\frac{π}{6}$），
當sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1時，f（x）取得最大值2λ，
由題意可得2λ=2，即λ=1，即有f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即有f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的最值和單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．