設(shè)．
（1）若，求最大值；
（2）已知正數(shù)，滿足.求證：；
（3）已知，正數(shù)滿足.證明:．

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，利用分式的求導(dǎo)法則求，令，分別求函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間，可求得函數(shù)的極大值，從而求得函數(shù)的最大值；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法證明在在上遞增，在上遞減.由于函數(shù)的極大值為，時(shí)，
由,得出，
從而證明結(jié)論成立. 
（3）由數(shù)學(xué)歸納法證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明的一般步驟是(1)證明當(dāng)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)且時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題成立. 由(1)，(2)可知，命題對(duì)一切正整數(shù)都成立. 一般的與正整數(shù)有關(guān)的等式、不等式可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.
試題解析：（1），
時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上遞增，在遞減.故時(shí)，
有.                   4分
（2）構(gòu)造函數(shù)，
則
易證在在上遞增，在上遞減.
時(shí)，有.
,即，
即證.                           8分
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)時(shí)，命題顯然成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即當(dāng)時(shí)，
.
則當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，
，
又假設(shè)
，
即



=.
這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，命題也成立.
綜上①②知，當(dāng)，正數(shù)滿足.                   14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，數(shù)學(xué)歸納法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1處取得極值﹣3﹣c，其中a，b，c為常數(shù)．
（1）試確定a，b的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，和是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，求；
(2)若對(duì)任意，都存在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中且．
(Ⅰ)當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)若時(shí)，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù) （是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）若1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求函數(shù)的解析表達(dá)式；
（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)，函數(shù).
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

函數(shù)，過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線方程為.
（1）若在時(shí)有極值，求的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求在[-3,1]上的最大值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)的導(dǎo)數(shù)為,若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)在處取得極值.
（I）求實(shí)數(shù)的值；
（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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