14．正△ABP的頂點A（0，a）（a＞0）為定點，頂點B在x軸上移動，且頂點A、B、P的順序是逆時針方向，求頂點P的軌跡．

分析 設點B、P的坐標分別為（t，0）、（x，y），則復數(shù)AB=t-ai，復數(shù)AP=x+（y-a）i，利用復數(shù)知識求解即可得出結論．

解答 解：設點B、P的坐標分別為（t，0）、（x，y），則復數(shù)AB=t-ai，復數(shù)AP=x+（y-a）i，
∴x+（y-a）i=（t-ai）（（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=$\frac{1}{2}$（t+$\sqrt{3}$a）+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-a）i，
∴x=$\frac{1}{2}$（t+$\sqrt{3}$a），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t+a），消去t得：$\sqrt{3}$x-y=a．
此即點P的軌跡方程，點P的軌跡是傾斜角為60°，在y軸上截距為-a的直線．

點評 本題考查軌跡與軌跡方程，考查復數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．若函數(shù)y=$\frac{1-2sinx}{sinx+3}$，求值域．

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5．已知點P（a，b），Q（c，d），則方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+ct}{1+t}}\\{y=\frac{b+dt}{1+t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）表示的曲線是（　�。�
A．直線PQB．線段PQC．除去P點的直線PQD．除去Q點的直線PQ

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2．存在函數(shù)f（x）滿足對任意的x∈R都有（　　）
A．f（|x|）=x+1B．f（x2+4x）=|x+2|C．f（2x2+1）=xD．f（cosx）=$\sqrt{x}$

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9．一種計算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個運算出口B，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數(shù)1時，從B口得到$\frac{1}{3}$，記為$f（1）=\frac{1}{3}$；②當從A口輸入自然數(shù)n（n≥2）時，在B口得到的結果f（n）是前一個結果f（n-1）的$\frac{{2（{n-1}）-1}}{{2（{n-1}）+3}}$倍．
（Ⅰ）當從A口分別輸入自然數(shù)2，3，4時，從B口分別得到什么數(shù)？
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）試猜想f（n）的關系式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．用數(shù)學歸納法證明不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n∈N，且n＞1）時，不等式的左邊從n=k到n=k+1，需添加的式子是（　　）
A．$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$B．$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
C．$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$D．$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．一個袋子中有k個紅球，4個綠球，2個黃球，這些球除顏色外其他完全相同．從中一次隨機取出2個球，每取得1個紅球記1分、取得1個綠球記2分、取得1個黃球記5分，用隨機變量X表示取到2個球的總得分，已知總得分是2分的概率為$\frac{1}{12}$．
（Ⅰ）求袋子中紅球的個數(shù)；
（Ⅱ）求X的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．直線l過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點F，且與此橢圓交于點A，B，若橢圓上存在一點M，使得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OM}$（O為坐標原點）．
（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）橢圓上是否存在這樣一點M，使得四邊形OAMB為矩形，如果存在，試求出M的坐標；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．如圖，P是菱形ABCD所在平面外一點，∠BAD=60°，△PCD是等邊三角形，AB=2，PA=2$\sqrt{2}$，M是PC的中點，點G為線段DM上一點（端點除外），平面APG與BD交于點H．
（Ⅰ）求證：PA∥GH；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDM；
（Ⅲ）求幾何體M-BDC的體積．

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