Question

9．一種計(jì)算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B，按照某種運(yùn)算程序：①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到$\frac{1}{3}$，記為$f（1）=\frac{1}{3}$；②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n（n≥2）時(shí)，在B口得到的結(jié)果f（n）是前一個(gè)結(jié)果f（n-1）的$\frac{{2（{n-1}）-1}}{{2（{n-1}）+3}}$倍．
（Ⅰ）當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2，3，4時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）試猜想f（n）的關(guān)系式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（n）=$\frac{2n-3}{2n+1}$f（n-1），（n≥2，n∈N^*），可求得f（2），f（3），f（4）的值，
（Ⅱ）從而可猜想f（n）關(guān)系式．按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟：先證明n=1時(shí)命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，從而得出命題對(duì)任意的n≥2恒成立．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（n）=$\frac{2n-3}{2n+1}$f（n-1），（n≥2，n∈N^*）
當(dāng)n=2時(shí)，$f（2）=\frac{4-3}{4+1}×f（1）=\frac{1}{5}×\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$，…（2分）
同理可得$f（3）=\frac{1}{35}，f（4）=\frac{1}{63}$…6 分
（Ⅱ）猜想$f（n）=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}\begin{array}{l}{\;}&{（*）}\end{array}$…（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（*）成立
①當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，由上面的計(jì)算結(jié)果知（*）成立…（8分）
②假設(shè)n=k（k≥4，k∈N^*）時(shí)，（*）成立，即$f（k）=\frac{1}{{（{2k-1}）（{2k+1}）}}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，$f（{k+1}）=\frac{2k-1}{2k+3}f（k）=\frac{2k-1}{2k+3}•\frac{1}{{（{2k-1}）（{2k+1}）}}$…（10分）
即$f（{k+1}）=\frac{1}{{[{2（{k+1}）-1}][{2（{k+1}）+1}]}}$∴當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）也成立        …（11分）
綜合①②所述，對(duì)?n∈N^*，$f（n）=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$成立．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理證明的能力，假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，去證明則當(dāng)n=k+1時(shí)，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．