Question

6．已知點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$+μ$\overrightarrow{BA}$，那么S_△BCP=$\frac{1}{3}$S_△ABC的充要條件是$μ=\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 可作BC的高線AD，并在AD上取靠近點D的三等分點E，然后過E作BC的平行線l，可設(shè)交AB于F，根據(jù)三角形的面積公式可得出點P在l上時滿足條件，這樣根據(jù)向量加法和數(shù)乘的幾何意義便可得出$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$，從而得出$μ=\frac{1}{3}$，這樣便可得出${S}_{△BCP}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$的充要條件．

解答 解：如圖，
過A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)靠近D的線段AD的三等分點為E，過E作BC的平行線l，交AB于F，則：
P點在平行線l上時，${S}_{△BCP}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$；
$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{BC}$；
又$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}+μ\overrightarrow{BA}$；
∴$μ=\frac{1}{3}$；
即${S}_{△BCP}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$的充要條件是：$μ=\frac{1}{3}$．
故答案為：$μ=\frac{1}{3}$．

點評 考查線段三等分點的定義，平行線分線段成比例，以及三角形的面積公式，向量加法和數(shù)乘的幾何意義，平面向量基本定理．