Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最高點D的坐標為（$\frac{π}{8}$，2），由最高點D運動到相鄰最低點時，函數(shù)圖形與x軸的交點的坐標為（$\frac{3π}{8}$，0）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）若f（α）=$\frac{8}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{8}$），求sin2α．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）利用兩角差的正弦公式，求得sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最高點D的坐標為（$\frac{π}{8}$，2），可得A=2．
∵由最高點D運動到相鄰最低點時，函數(shù)圖形與x軸的交點的坐標為（$\frac{3π}{8}$，0），可得$\frac{T}{4}$=$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（2）當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故f（x）的最大值為2，此時，2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即 x=$\frac{π}{8}$．
f（x）的最小值為-$\sqrt{2}$，此時，2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即 x=-$\frac{π}{4}$．
（3）若f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{8}{5}$，則 sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，∵α∈（0，$\frac{π}{8}$），∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（2α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（2α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．