Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC=

3

，AA₁=2，AB=1，D為AA₁的中點．
（1）求三棱柱的表面積；
（2）求證：平面DBC⊥平面DB₁C₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）分別求出三個側(cè)面和兩個底面的面積相加即可；
（2）利用直三棱柱的性質(zhì)進一步證明BD⊥平面B₁C₁D，利用面面垂直的性質(zhì)證明．

解答： （1）解：因為幾何體為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC=

3

，AA₁=2，AB=1，D為AA₁的中點．
所以AC=2，各側(cè)面都是矩形，各側(cè)面的面積和為2×2+2×1+2×

3

=6+2

3

，兩個底面的面積為2×

1

2

×AB×BC=1×

3

=

3

，
所以三棱柱的表面積為6+3

3

；
（2）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC=

3

，AA₁=2，AB=1，D為AA₁的中點．
∴BB₁=2，BD=B₁D=

2

AB=

2

，
∴BD⊥B₁D，
又AB⊥BC，∴B₁C₁⊥AB，又B₁C₁⊥BB₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴B₁C₁⊥BD，
∴BD⊥平面B₁C₁D，
∴平面DBC⊥平面DB₁C₁．

點評：本題考查了三棱柱的表面積求法以及面面垂直的判定，關鍵是明確直三棱柱的性質(zhì)，運用性質(zhì)創(chuàng)造面面垂直的條件．