Question

已知點(diǎn)M（3，1），直線ax-y+4=0及圓（x-1）²+（y-2）²=4
（1）求過M點(diǎn)的圓的切線方程
（2）若直線ax-y+4=0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2

3

，求a的值
（3）若電P（x，y）是圓上的任意一點(diǎn)，求k=

y-4

x

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,作圖題,直線與圓

分析：（1）設(shè)過M點(diǎn)的圓的切線方程為x=m（y-1）+3，與圓的方程聯(lián)立消元再令判別式為0即可；
（2）直線ax-y+4=0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2

3

可化為圓心到直線ax-y+4=0的距離為

4-3

=1；從而求解．
（3）k=

y-4

x

的幾何意義是點(diǎn)P（x，y），與點(diǎn)（0，4）連線的直線的斜率，故設(shè)過點(diǎn)（0，4）的直線方程可設(shè)為kx-y+4=0；聯(lián)立解△≥0即可．

解答： 解：（1）設(shè)過M點(diǎn)的圓的切線方程為x=m（y-1）+3；
與（x-1）²+（y-2）²=4聯(lián)立消x得，
（m²+1）y²-2（m²-2m+2）y+（m-2）²=0；
故△=4（m²-2m+2）²-4（m²+1）（m-2）²=0，
化簡得，3m²-4m=0；
故m=0或m=

4

3

；
故過M點(diǎn)的圓的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0；
（2）∵直線ax-y+4=0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2

3

，
∴圓心到直線ax-y+4=0的距離為

4-3

=1；
即d=

|a-2+4|

a2+1

=1，
解得，a=-

3

4

；
（3）k=

y-4

x

的幾何意義是點(diǎn)P（x，y），與點(diǎn)（0，4）連線的直線的斜率，
過點(diǎn)（0，4）的直線方程可設(shè)為kx-y+4=0；
與（x-1）²+（y-2）²=4聯(lián)立消y得，
（k²+1）x²+（4k-2）x+1=0，
故△=（4k-2）²-4（k²+1）≥0，
解得，k≤0或k≥

4

3

．

點(diǎn)評：本題全面都考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的作圖能力，屬于中檔題．