Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{4}{x}$．
（1）若連續(xù)擲兩次質(zhì)地均勻的骰子（骰子六個面上標(biāo)注的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）得到的點數(shù)分別為a和b，記事件B={f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B發(fā)生的概率．
（2）從區(qū)間（-2，2）內(nèi)任取一個實數(shù)a，設(shè)事件A={方程f（x）-2=0有兩個不同的正實數(shù)根}，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的最小值，然后討論a的取值，找到滿足條件的基本事件，根據(jù)概率公式計算即可；
（2）首先求出參數(shù)的取值范圍，再利用概率公式計算即可．

解答 解：（1）由已知：a＞0，x＞0
所以$f（x）=ax+\frac{4}{x}≥4\sqrt{a}$，∴$f（x）的最小值為4\sqrt{a}$
∵f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立，∴$4\sqrt{a}＞{b^2}$
當(dāng) b=1時，a=1，2，3，4，5，6；b=2時，a=2，3，4，5，6；b=3時，a=6，
∴P（B）=$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
（2）∵函數(shù)y=f（x）-2在區(qū)間（0，+∞）上有兩個不同的正實數(shù)根，
∴$ax+\frac{4}{x}-2=0$即ax²-2x+4=0有兩不等的正實數(shù)根x₁和x₂
∴$\left\{{\begin{array}{l}\begin{array}{l}a≠0\\△=4-16{a^{\;}}＞0\end{array}\\{{x_1}+{x_2}=\frac{2}{a}＞0}\\{{x_1}{x_2}=\frac{4}{a}＞0}\end{array}}\right.$，解得$0＜a＜\frac{1}{4}$，
∴$P（A）=\frac{1}{4}÷4$=$\frac{1}{16}$

點評 本題主要考查了古典概型的概率問題以及函數(shù)的零點和最值問題．