Question

19．如圖，等腰梯形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，3$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EC}$．一雙曲線經(jīng)過C，D，E三點(diǎn)，且以A，B為焦點(diǎn)，則該雙曲線離心率是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，由題意可得|CD|=c，設(shè)C在第一象限，由x=$\frac{c}{2}$，代入雙曲線的方程，可得C的坐標(biāo)，再由條件得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，求得E的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：可設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
由2c=|AB|=2|CD|，可得|CD|=c，
設(shè)C在第一象限，
由x=$\frac{c}{2}$，可得y=b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$，
即有C（$\frac{1}{2}$c，b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
又設(shè)A（-c，0），3$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EC}$，
可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，即有E（$\frac{-c+\frac{2}{3}•\frac{c}{2}}{1+\frac{2}{3}}$，$\frac{b\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}}{1+\frac{2}{3}}$），
即為（-$\frac{2}{5}$c，$\frac{2}{5}$b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
代入雙曲線的方程，可得$\frac{4}{25}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{25}$（$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-1）=1，
由e=$\frac{c}{a}$，可得4e²-e²=21，解得e=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．