Question

18．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），傾斜角為45°的直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為（-1，$\frac{1}{3}$）．過橢圓E內(nèi)一點(diǎn)P（1，$\frac{1}{2}$）的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A、C和B、D，且滿足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，其中λ為實(shí)數(shù)．當(dāng)直線AP平行于x軸時(shí)，對應(yīng)的λ=$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)λ變化時(shí)，k_AB是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將M和N點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，根據(jù)斜率公式求得k_MN=1，求得a和b的關(guān)系，當(dāng)直線AP平行于x軸時(shí)，設(shè)|AC|=2d，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得a和b，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出A、B、C和D點(diǎn)坐標(biāo)，由向量共線，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，及A和B在橢圓上，利用斜率公式，k_AB=k_CD，求得3（1+λ）k_AB=-2（1+λ），即可求得k_AB為定值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（m₁，n₁）、N（m₂，n₂），則$\left\{\begin{array}{l}{b^2}m_1^2+{a^2}n_1^2={a^2}{b^2}\\{b^2}m_2^2+{a^2}n_2^2={a^2}{b^2}\end{array}\right.$，
兩式相減${k_{MN}}=\frac{{{n_1}-{n_2}}}{{{m_1}-{m_2}}}=-\frac{{{b^2}（{m_1}+{m_2}）}}{{{a^2}（{n_1}+{n_2}）}}=-\frac{{{b^2}×（-1）}}{{{a^2}×\frac{1}{3}}}=\frac{{3{b^2}}}{a^2}=1$，
故a²=3b²…（2分）
當(dāng)直線AP平行于x軸時(shí)，設(shè)|AC|=2d，
∵$P（1，\frac{1}{2}）$，$λ=\frac{1}{5}$，則$\frac{{|{AP}|}}{{|{PC}|}}=\frac{d-1}{d+1}=\frac{1}{5}$，解得$d=\frac{3}{2}$，
故點(diǎn)A（或C）的坐標(biāo)為$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．
代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得$\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$…4分
a²=3，b²=1，
所以方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$…（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄）
由于$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PC}$，可得A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），
$\left\{\begin{array}{l}{x_P}=1=\frac{{{x_1}+λ{(lán)x_3}}}{1+λ}\\{y_P}=\frac{1}{2}=\frac{{{y_1}+λ{(lán)y_3}}}{1+λ}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}+λ{(lán)x_3}=1+λ\\{y_1}+λ{(lán)y_3}=\frac{1}{2}（1+λ）\end{array}\right.$…①
同理$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PD}$可得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}+λ{(lán)x_4}=1+λ\\{y_2}+λ{(lán)y_4}=\frac{1}{2}（1+λ）\end{array}\right.$…②…（8分）
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}+λ（{x_3}+{x_4}）=2（1+λ）\\{y_1}+{y_2}+λ（{y_3}+{y_4}）=（1+λ）\end{array}\right.$…③
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程得$\left\{\begin{array}{l}x_1^2+3y_1^2=3\\ x_2^2+3y_2^2=3\end{array}\right.$，
兩式相減得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
于是3（y₁+y₂）k_AB=-（x₁+x₂）…④
同理可得：3（y₃+y₄）k_CD=-（x₃+x₄），…（10分）
于是3（y₃+y₄）k_AB=-（x₃+x₄）（∵AB∥CD，∴k_AB=k_CD）
所以3λ（y₃+y₄）k_AB=-λ（x₃+x₄）…⑤
由④⑤兩式相加得到：3[y₁+y₂+λ（y₃+y₄）]k_AB=-[（x₁+x₂）+λ（x₃+x₄）]
把③代入上式得3（1+λ）k_AB=-2（1+λ），
解得：${k_{AB}}=-\frac{2}{3}$，
當(dāng)λ變化時(shí)，k_AB為定值，${k_{AB}}=-\frac{2}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線的斜率斜率公式，向量共線定理，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用，屬于難題．