Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n}•{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$（n≥2），則數(shù)列{a_n}的第100項(xiàng)為$\frac{1}{50}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$（n≥2），即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，則答案可求．

解答 解：由$\frac{{a}_{n}•{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$，得$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}=\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$（n≥2），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，
∵a₁=2，a₂=1，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
則${a}_{n}=\frac{2}{n}$，
∴${a}_{100}=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}$．
故答案為：$\frac{1}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．