Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，a_n≠0，a_na_n+1=pS_n+2，其中p為常數(shù)．
（1）證明：a_n+2-a_n=p；
（2）是否存在p，使得|a_n|為等差數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）a_na_n+1=pS_n+2，a_n+1a_n+2=pS_n+1+2，相減可得：a_n+1（a_n+2-a_n）=pa_n+1，利用a_n+1≠0，可得a_n+2-a_n=p．
（2）由a_na_n+1=pS_n+2，令n=1時(shí)，a₁a₂=pa₁+2，a₁=2，可得：a₂=p+1，同理可知：a₃=p+2，令2a₂=a₁+a₃，解得p=2．因此a_n+2-a_n=2，數(shù)列{a_2n-1}，數(shù)列{a_2n}都是公差為2的等差數(shù)列，即可得出．

解答 （1）證明：∵a_na_n+1=pS_n+2，a_n+1a_n+2=pS_n+1+2，
∴a_n+1（a_n+2-a_n）=pa_n+1，
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=p．
（2）解：由a_na_n+1=pS_n+2，令n=1時(shí)，a₁a₂=pa₁+2，a₁=2，可得：a₂=p+1，
同理可知：a₃=p+2，令2a₂=a₁+a₃，解得p=2．
∴a_n+2-a_n=2，∴數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，且a_2n-1=2+2（n-1）=2n．
數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，且a_2n=3+2（n-1）=2n+1．
∴a_n=n+1．∴a_n+1-a_n=1．
因此存在p=2，使得數(shù)列|a_n|為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．