Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-kx-1，
（1）若k=2，試用定義法證明f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把k=2代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的解析式，設(shè)x₁＞x₂≥1，根據(jù)定義證明即可；
（2）先求出函數(shù)的對稱軸，通過討論k的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值．

解答： （1）證明：k=2時(shí)，f（x）=x²-2x-1，
設(shè)x₁＞x₂≥1，
∴f（x₁）-f（x₂）=x12-2x₁-1-x22+2x₂+1
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
∵x₁＞x₂≥1，
∴x₁-x₂≥0，x₁+x₂-2＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）解：∵對稱軸x=

k

2

，
∴當(dāng)

k

2

≥4，即k≥8時(shí)，f（x）在[1，4]遞減，
∴f（x）_min=f（4）=15-4k，
當(dāng)

k

2

≤1，即k≤2時(shí)，f（x）在[1，4]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-k，
當(dāng)1≤

k

2

≤4，即2≤k≤8時(shí)，
f（x）_min=f（k）=-1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，是一道綜合題．