Question

如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為棱BC的中點．
（1）在棱BB′上是否存在點M，使D′M⊥平面B′AE？為什么？
（2）在正方體表面ABB′A′上是否存在點N，使得D′N⊥平面B′AE？為什么？

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：探究型,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立空間坐標系，設(shè)M（1，1，z），z∈[0，1]，則可求

D′M

，

AE

，

AB′

坐標，由題意

D′M

•

AE

=0，

D′M

•

AB′

=0，聯(lián)立方程無解，從而可得在棱BB′上不存在點M．
（2）設(shè)N（1，y，z），則可求

D′N

坐標，由題意

D′N

•

AE

=0，

D′N

•

AB′

=0，聯(lián)立方程可解得y，z的值，即可得解．

解答： 解：如圖，建立空間坐標系D-xyz，各點坐標如圖所示．
（1）設(shè)M（1，1，z），z∈[0，1]，
∴

D′M

=（1，1，z-1），

AE

=（-

1

2

，1，0），

AB′

=（0，1，1），
∴

D′M

⊥

AE

可得

D′M

•

AE

=0，①
∴

D′M

⊥

AB′

可得

D′M

•

AB′

=0，②
∵由①②可解得無解．
∴在棱BB′上不存在點M，使D′M⊥平面B′AE．
（2）設(shè)N（1，y，z），則

D′N

=（1，y，z-1），y∈[0，1]，z∈[0，1]
∴

D′N

⊥

AE

可得

D′N

•

AE

=0③，

D′N

⊥

AB′

可得

D′N

•

AB′

=0④，
∴由③④可得：

- 1 2 +y+0=0 0+y+z-1=0

，解得：

y= 1 2 z= 1 2

，
∴解得：N（1，

1

2

，

1

2

），
故當N為正方形ABBA中心時，D′N⊥平面B′AE．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了轉(zhuǎn)換思想與空間想象能力，建立空間坐標系D-xyz，用向量法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．