Question

14．已知x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，若x+2y＞m²+3m-2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． m＜-2或m＞5
• B． -5＜m＜2
• C． -2＜m＜5
• D． m＜-5或m＞2

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)求解x+2y的最小值，即可求解恒成立時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
那么：x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}$$≥2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}+4$=8
當(dāng)且僅當(dāng)2y=x時(shí)，即x=4，y=2時(shí)取等號(hào)；
要使x+2y＞m²+3m-2恒成立，即8＞m²+3m-2恒成立，
解得：-5＜m＜2；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用來解恒等式成立的問題．屬于基礎(chǔ)題．