Question

4．若函數(shù)f（x）滿足：在定義域D內(nèi)存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，
則稱函數(shù)f（x）為“1的飽和函數(shù)”．給出下列五個(gè)函數(shù)：
①f（x）=2^x；②f（x）=$\frac{1}{x}$；③$f（x）=lg（{x^2}-\frac{1}{2}）$；④$f（x）=\frac{2x-1}{e^x}$．
其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號(hào)為（　�。�

• A． ①②④
• B． ②③④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 假設(shè)函數(shù)為飽和函數(shù)，列出方程，判斷方程是否有解得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①，f（1）=2，f（2）=4，∴f（1+1）=f（1）+f（1），∴f（x）=2^x是飽和函數(shù)；
對(duì)于②，假設(shè)f（x）=$\frac{1}{x}$是飽和函數(shù)，則$\frac{1}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$+1，整理得：x₀²+x₀+1=0，方程無解，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$不是飽和函數(shù)；
對(duì)于③，假設(shè)f（x）=lg（x²-$\frac{1}{2}$）是飽和函數(shù)，則lg[（x₀+1）²-$\frac{1}{2}$]=lg（x₀²-$\frac{1}{2}$）+lg$\frac{1}{2}$．
∴（x₀+1）²-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x₀²-$\frac{1}{2}$），整理得：2x₀²+8x₀+3=0，△=40＞0，方程有解，
∴f（x）=lg（x²-$\frac{1}{2}$）是飽和函數(shù)；
對(duì)于④，假設(shè)f（x）=$\frac{2x-1}{{e}^{x}}$，則$\frac{2（{x}_{0}+1）-1}{{e}^{{x}_{0}+1}}$=$\frac{2{x}_{0}-1}{{e}^{{x}_{0}}}$+$\frac{1}{e}$，
整理得：e${\;}^{{x}_{0}}$=（2-2e）x₀+e，
做出y=e^x和y=（2-2e）x₀+e如圖所示：
由圖象可得y=e^x和y=（2-2e）x₀+e有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程e${\;}^{{x}_{0}}$=（2-2e）x₀+e有解，
∴f（x）=$\frac{2x-1}{{e}^{x}}$是飽和函數(shù)．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解的個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．