【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn),求的最大值,并求取得最大值時(shí)直線的方程.
【答案】(1);(2)當(dāng)直線的方程為時(shí),取最大值.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)、,可得出,利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得的值,進(jìn)而可得出拋物線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用平面向量數(shù)量積公式將表示為以為自變量的函數(shù),利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的直線的方程.
(1)設(shè)點(diǎn)、,由于線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則,
由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得,解得.
因此,拋物線的方程為;
(2)設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立,消去并整理得.
由韋達(dá)定理得,.
,同理可得,
.
當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),直線的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)其中a為常數(shù),設(shè)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求過(guò)切點(diǎn)為的切線方程;
(2)若在區(qū)間上的最大值為,求a的值;
(3)若不等式恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),證明:;
(3)判斷曲線與是否存在公切線,若存在,說(shuō)明有幾條,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品的包裝紙可類比如圖所示的平面圖形,其可看作是由正方形和等腰梯形拼成,已知,,在包裝的過(guò)程中,沿著將正方形折起,直至,得到多面體,分別為中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),若對(duì),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為抗擊新冠疫情,某企業(yè)組織員工進(jìn)行用款捐物的愛(ài)心活動(dòng).原則上每人以自愿為基礎(chǔ),捐款不超過(guò)400元.現(xiàn)項(xiàng)目負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)全體員工數(shù)據(jù)后,下表為隨機(jī)抽取的10名員工.的捐款數(shù)額.
員工編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
捐款數(shù)額 | 124 | 86 | 215 | 53 | 132 | 195 | 400 | 90 | 300 | 225 |
(1)若從這10名員工中任意選取3人,記選到的3人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望:
(2)以表中選取的10人作為樣本.估計(jì)該企業(yè)全體員工的捐款情況,現(xiàn)從企業(yè)員工中依次抽取8人,若抽到k人的捐款數(shù)額小于200元的可能性最大,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng),按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
區(qū)間 | |||||
人數(shù) | 50 | 50 | a | 150 | b |
(1)上表是年齡的頻數(shù)分布表,求正整數(shù)的值;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少?
(3)在(2)的前提下,從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng),求至少有1人年齡在第3組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).
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