Question

【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)直線的方程為時(shí)，取最大值.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)、，可得出，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得的值，進(jìn)而可得出拋物線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積公式將表示為以為自變量的函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的直線的方程.

（1）設(shè)點(diǎn)、，由于線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，

由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得，解得.

因此，拋物線的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去并整理得.

由韋達(dá)定理得，.

，同理可得，

.

當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，直線的方程為.