Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）-x＜0的解集為（x₁，x₂）其中x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

（1）當x∈（x₁，x₂）時，求證x₁＜f（x）＜x；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，求證：x₀＜

x1

2

．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可以構(gòu)造一個函數(shù)，然后利用做差的方法進行，然后判斷差的符號即可；
（2）想辦法將對稱軸用x₁，x₂表示出來，然后與

x1

2

比較即可，注意性質(zhì)的運用．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）-x，
因為x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且a＞0，
當x∈（x₁，x₂）時，由x₁＜x＜x₂得（x-x₁）（x-x₂）＜0，又a＞0，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＜0，即f（x）＜x．
而x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]．
因為0＜x1＜x＜x2＜

1

a

，所以x₁-x＜0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0
得x-f（x）＜0，由此得x₁＜f（x）＜x．
（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x-x₁）（x-x₂）=ax²+[1-a（x₁+x₂）]x+ax₁x₂
x₀=-

b

2a

=

a(x1+x2)-1

2a

=

ax2-1

2a

+

x1

2

，
因為ax₂＜1，所以

ax2-1

2a

+

x1

2

＜

x1

2

，即x0＜

x1

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)與二次不等式、方程的根之間的關(guān)系，要注意將函數(shù)的性質(zhì)與方程的根結(jié)合函數(shù)的圖象有機結(jié)合起來．