Question

9．2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，來源則是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率．祖沖之，在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率（π）值計算到小數(shù)點后的第7位，即3.1415926到3.1415927之間，數(shù)列{a_n}是公差大于0的等差數(shù)列，其前三項是“31415926”中連續(xù)的三個數(shù)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其公比大于1的正整數(shù)且前三項是“31415926”中的三個數(shù)，且a₃=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{（{a}_{n}+3）•（{a}_{n+2}+3）}，n=2k-1（k∈N*）}\\{lo{g}_{3}_{n+1}，n=2k（k∈N*）}\end{array}\right.$，求c₁+c₂+c₃+…+c${\;}_{{2}^{n}}$．（n∈N*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過題干確定數(shù)列{a_n}、{b_n}的前三項，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可求出c_n的表達式，利用裂項相消法可知奇數(shù)項的和，利用分組求和法可求出偶數(shù)項的和，進而相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題可知a₁=1，a₂=5，a₃=9，
b₁=4，b₂=6，b₃=9，
所以a_n=1+4（n-1）=4n-3，b_n=4×$（{\frac{3}{2}）}^{n-1}$；
（Ⅱ）由（I）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{4n•4（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}&{，n=2k-1}\\{lo{g}_{3}\frac{{3}^{n}}{{2}^{n-2}}=n-（n-2）lo{g}_{3}2}&{，n=2k}\end{array}\right.$，
則c₁+c₃+…+${c}_{{2}^{n}-1}$=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
c₂+c₄+…+${c}_{{2}^{n}}$=（2+4+…+2ⁿ）-[（2-2）+（4-2）+（6-2）+…+（2ⁿ-2）]log₃2
=$\frac{{2}^{n-1}（2+{2}^{n}）}{2}$-[$\frac{{2}^{n-1}（2+{2}^{n}）}{2}$-2ⁿ]log₃2
=2^n-1+2^2n-2-（2^2n-2-2^n-1）log₃2，
故所求值為1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$+2^n-1+2^2n-2-（2^2n-2-2^n-1）log₃2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，考查分組求和法，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．