Question

某旅游景點2012年的利潤為100萬元，因市場競爭，若不開發(fā)新項目，預測從2013年起每年利潤比上一年減少4萬元，2013年初，該景點一次性投入90萬元開發(fā)新項目，預測在未扣除開發(fā)所投入資金的情況下，第n年（n為正整數(shù)，2013年為第1年）的利潤為100（1+

1

3n

）萬元．
（1）設從2013年起的前n年，該景點不開發(fā)新項目的累計利潤為A_n萬元，開發(fā)新項目的累計利潤為B_n萬元（須扣除開發(fā)所投入的資金），求A_n，B_n的表達式；
（2）依上述預測，該景點從第幾年開始，開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分別列出該景點不開發(fā)新項目與開發(fā)新項目的每年利潤，從而求利潤總和即可；
（2）解B_n-A_n=100n-

50

3n

-40-（100n-2n（n+1））=2n（n+1）-

50

3n

-40＞0即可．

解答： 解：（1）該景點不開發(fā)新項目，從2013年起的前n年，
當n=1時，當年的利潤為100-4萬元，
當n=2時，當年的利潤為100-8萬元，
當n=3時，當年的利潤為100-12萬元，
…
故前n年的總利潤A_n=100-4+100-8+…+100-4n=100n-2n（n+1）；
開發(fā)新項目，從2013年起的前n年，
當n=1時，當年的利潤為100（1+

1

3

）萬元，
當n=2時，當年的利潤為100（1+

1

9

）萬元，
當n=3時，當年的利潤為100（1+

1

27

）萬元，
…
故前n年的總利潤B_n=100（1+

1

3

）+100（1+

1

9

）+100（1+

1

27

）+…+100（1+

1

3n

）-90=100n-

50

3n

-40；
故A_n=100n-2n（n+1）；
B_n=100n-

50

3n

-40；
（2）令B_n-A_n=100n-

50

3n

-40-（100n-2n（n+1））
=2n（n+1）-

50

3n

-40＞0，
n=4時，B_n-A_n＜0，當n=5時，B_n-A_n＞0；
故該景點從第5年開始，開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤．

點評：本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用及數(shù)列在實際問題中的應用，屬于中檔題．