Question

5．若點(diǎn)M（a，b）在函數(shù)y=-x²+3lnx的圖象上，點(diǎn)N（c，d）在函數(shù)y=x-2的圖象上，則$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可得$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的幾何意義是點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（-c，-d）的距離，先求出與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x+m．再求出此兩條平行線之間的距離，即可得出．

解答 解：點(diǎn)N（c，d）在函數(shù)y=x-2的圖象上，
可得d=c-2，即有-d=-c+2，
則點(diǎn)（-c，-d）在直線y=x+2上，
則$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的幾何意義是點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（-c，-d）的距離．
設(shè)直線y=x+m與曲線y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函數(shù)y=-x²+3lnx，
∴y′=-2x+$\frac{3}{x}$，
令-2x₀+$\frac{3}{{x}_{0}}$=1，又x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=-1+3ln1=-1，
可得切點(diǎn)P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x-2．
而兩條平行線y=x+2與y=x-2的距離d=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
則$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的最小值為2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉(zhuǎn)化問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．