Question

19．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點(diǎn)（6，y₀）到其準(zhǔn)線的距離為$\frac{15}{2}$．
（I）證明：拋物線C與直線x-y+8=0無公共點(diǎn)；
（Ⅱ）若A（a，0）（a≠0）過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，探究：是否存在定值a，使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不隨直線l的變化而變化．

Answer 1

分析 （I）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由題意可得6+$\frac{p}{2}$=$\frac{15}{2}$，解得p=3，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用判別式小于0，即可得證；
（II）假設(shè)存在定值a，使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不隨直線l的變化而變化．設(shè)直線l：x=ky+a，與拋物線方程聯(lián)立，計(jì)算|AM|，|AN|，利用$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$恒為定值，可求點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得定值a．

解答 解：（I）證明：拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
點(diǎn)（6，y₀）到其準(zhǔn)線的距離為$\frac{15}{2}$，可得6+$\frac{p}{2}$=$\frac{15}{2}$，
解得p=3．
即有拋物線為y²=6x，
聯(lián)立直線x-y+8=0，可得x²+10x+64=0，
由△=100-4×64＜0，可得方程無實(shí)數(shù)解．
即有拋物線C與直線x-y+8=0無公共點(diǎn)；
（II）假設(shè)存在定值a，使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不隨直線l的變化而變化．
設(shè)直線l：x=ky+a，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+a}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$，可得y²-6ky-6a=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則△=36k²+24a＞0，
即有y₁+y₂=6k，y₁y₂=-6a．
又|AM|=$\sqrt{（a-{x}_{1}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|y₁|，
|AN|=$\sqrt{（a-{x}_{2}）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|y₂|，
可設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
即有$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{36{k}^{2}+24a}}{6a}$
由于要與k無關(guān)，只需令24a=36，即a=$\frac{3}{2}$，
進(jìn)而$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{6\sqrt{1+{k}^{2}}}{9}$=$\frac{2}{3}$．
所以，存在定點(diǎn)（$\frac{3}{2}$，0），即存在定值a=$\frac{3}{2}$，
使得$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$的值不隨直線l的變化而變化．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，以及恒過定點(diǎn)問題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．