Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)令f(x)<0解得0<x<或 得的單調(diào)區(qū)間.（2）法一：令g（x）=f（x）-1+sinx+<0在 上恒成立，利用g（）<0，求出a<-1，再對a<-1進(jìn)行分類討論.法二：變量分離，當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立；當(dāng) ，再構(gòu)造新函數(shù)，求最值即可.

（1）時(shí) ，

，解得或

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，

（2）方法一

，

則只需在時(shí)恒成立，

則 所以

因?yàn)?/span>，所以

1）當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減，，符合題意

2）當(dāng)時(shí)，存在，使得，

①時(shí)，，單調(diào)遞減，，符合題意；

②時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)取得最大值；

因?yàn)?/span>，所以 所以

令，其中

則，

單調(diào)遞增，，所以，時(shí)，符合題意；

③時(shí)，，單調(diào)遞減；，符合題意。

所以的取值范圍是

方法二：

即

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

當(dāng)時(shí)，只需成立

令，則

令

則

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增

又因?yàn)?/span>，

結(jié)合單調(diào)性可知時(shí)，時(shí)

即時(shí)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增。

時(shí)，取得最小值

所以的取值范圍是