Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求在點P(1，)處的切線方程；

（2）若關(guān)于x的不等式有且僅有三個整數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；

（3）若存在兩個正實數(shù)，滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）求出P（1，0），x＞0，，f′（1）=1，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程．

（2）求出，x＞0，則f′（x）=0，得x=e，列表討論能求出實數(shù)t的取值范圍．

（3）h（x）=x2﹣2x+4lnx，從而（x1+x2）2﹣2（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t﹣4lnt，（t＞0），…（11分）則=2t+2﹣=，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x1+x2≥3．

（1），，所以點坐標(biāo)為；

又，，則切線方程為，

所以函數(shù)在點處的切線方程為．

（2）

	正	0	負(fù)
	單調(diào)增	極大值	單調(diào)減

由， 得；

時，或，滿足條件的整數(shù)解有無數(shù)個，舍；

時，，得且，滿足條件的整數(shù)解有無數(shù)個，舍；

時，或，當(dāng)時，無整數(shù)解；

當(dāng)時，不等式有且僅有三個整數(shù)解，又，，

因為在遞增，在遞減；所以， 即，即；

所以實數(shù)的取值范圍為．

（3），

因為，

所以，

即，

令，，

則，

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為3．

因為存在兩個正實數(shù)，滿足，所以，

即，所以或．

因為為正實數(shù)，所以．