Question

17．已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下三個(gè)條件
（1）f（x）+f（2-x）=0，
（2）f（x）=（-2-x）
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，0]}\\{1-x，x∈（0，1]}\end{array}\right.$
則函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\end{array}\right.$的圖象在區(qū)間[-3，3]上公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的周期性和對稱性做出f（x）在[-3，3]上的函數(shù)圖象，再做出g（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：∵f（x）=f（-2-x），∴f（x）的圖象關(guān)于x=-1對稱，
又∵f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，
做出f（x）和g（x）在[-3，3]上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)g（x）在（1，0）處的切線斜率為k，則k=-$\frac{1}{ln2}$＜-1，又g（2）=f（2）=-1，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）與g（x）只有兩個(gè)交點(diǎn)（1，0）和（2，-1）．
綜上，f（x）與g（x）在[-3，3]上有6個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的圖象，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．