Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（其中常數(shù)a，b∈R），g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)，
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求g（x）在[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a，b的值，問題得以解決，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的應(yīng)用，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx（其中常數(shù)a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴g（x）=f（x）-f′（x）=x³+ax²+bx-3x²-2ax-b，
∵g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)，
∴a-3=0，b=0，
∴f（x）=x³+3x²，
（2）∵f′（x）=3x²+6x，x∈[1，3]
∴g（x）=x³-6x，
∴g′（x）=3x²-6，
令g′（x）=3x²-6=0，解得x=$\sqrt{2}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即$\sqrt{2}$＜x≤3，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即1≤x＜$\sqrt{2}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$=-4$\sqrt{2}$，
∵g（1）=1-6=-5，g（3）=27-18=9，
∴g（x）_max=g（3）=9

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系以及奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．