Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$（a＞0）．
（1）若函數(shù)在x=1處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明：（$\frac{2016}{2017}$）²⁰¹⁷＜$\frac{1}{e}$（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）=0，解得a的值即可；
（2）通過討論a的范圍，求出f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值，結(jié)合題意確定a的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為證明$ln\frac{2017}{2016}-\frac{1}{2017}＞0$，即證$ln（1+\frac{1}{2016}）-\frac{1}{1+2016}＞0$，由（2）知a=1時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）單調(diào)遞增，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$，（a＞0），
∴f′（x）=$\frac{x+1-a}{{（x+1）}^{2}}$，f′（1）=0，即a=2；
（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）_min≥0，
當(dāng)0＜a≤1時，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，
當(dāng)a＞1時，令f′（x）≥0，則x＞a-1，令f′（x）＜0，則0≤x＜a-1，
即f（x）在[0，a-1）上為減函數(shù)，在（a-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a-1）≥0，又f（0）=0＞f（a-1），則矛盾．
綜上，a的取值范圍為（0，1]．
（3）要證${（\frac{2016}{2017}）^{2017}}＜\frac{1}{e}$，只需證${（\frac{2017}{2016}）^{2017}}＞e$
兩邊取自然對數(shù)得，$2017ln\frac{2017}{2016}＞1$，即證$ln\frac{2017}{2016}＞\frac{1}{2017}$，
即證$ln\frac{2017}{2016}-\frac{1}{2017}＞0$，即證$ln（1+\frac{1}{2016}）-\frac{1}{1+2016}＞0$，
由（2）知a=1時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）單調(diào)遞增．
又$\frac{1}{1+2016}＞0$，f（0）=0，
所以$f（\frac{1}{2016}）=ln（1+\frac{1}{2016}）-\frac{1}{1+2016}＞f（0）=0$，
所以${（\frac{2016}{2017}）^{2017}}＜\frac{1}{e}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值的意義，考查導(dǎo)數(shù)的意義以及不等式的證明，分類討論思想，是一道綜合題．