Question

1．若隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用隨機(jī)變量ξ表示A在一次試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)，則$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由已知得隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，且P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，推導(dǎo)出 E（ξ）=p，D（ξ）=p-p²，從而得到$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$=4-（4p+$\frac{1}{p}$），由此利用均值定理能求出$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$的最大值．

解答 解：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，
并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
從而 E（ξ）=0×（1-p）+1×p=p，
D（ξ）=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p=p-p²，
$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$=$\frac{4（p-{p}^{2}）-1}{p}$=4-（4p+$\frac{1}{p}$），
∵0＜p＜1，
∴4p+$\frac{1}{p}$$≥2\sqrt{4p×\frac{1}{p}}$=4，
當(dāng)4p=$\frac{1}{p}$，p=$\frac{1}{2}$時(shí)，取“=”，
∴當(dāng)p=$\frac{1}{2}$時(shí)，
$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$取得最大值0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查關(guān)于數(shù)學(xué)期望和方差的代數(shù)式的取大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)的合理運(yùn)用．