Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F(xiàn)是線段EB的中點．
（Ⅰ）證明：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）證明：BD⊥AE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AE得中點G，連結(jié)FG，DG，將問題轉(zhuǎn)化為證明四邊形CFGD是平行四邊形即可；
（Ⅱ）由數(shù)量關(guān)系可得BD⊥AD，從而由面面垂直的性質(zhì)即得結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）取AE得中點G，連結(jié)FG，DG，
則有FG∥AB且FG=

1

2

AB=2，
又因為DC∥AB，CD=2，
所以FG∥DC，F(xiàn)G∥DC，
所以四邊形CFGD是平行四邊形．
所以CF∥GD，
又因為GD?平面ADE，CF?平面ADE，
所以CF∥平面ADE；
（Ⅱ）因為BC⊥CD，BC=CD=2，
所以BD=2

2

．
同理EA⊥ED，EA=ED=2，
所以AD=2

2

．
又因為AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，
又因為平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面EAD，
又因為AE?平面EAD，
所以BD⊥AE．

點評：本題考查線面垂直的判定及面面垂直的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線、找到所給數(shù)據(jù)中隱含的條件是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．