Question

5．已知函數y=f（x）的導函數為y=f′（x），當x≠0時，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），則a，b，c的大小關系正確的是（　�。�

• A． a＜c＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于當x≠0時，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，可得：當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0，即當x＞0時，g′（x）＞0，因此當x＞0時，函數g（x）單調遞增，然后利用函數g（x）的單調性得答案．

解答 解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵當x≠0時，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0．
即當x＞0時，g′（x）＞0，
因此當x＞0時，函數g（x）單調遞增，
∵2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴g（2）＞g（ln2）＞g（$\frac{1}{2}$），
即b＞c＞a，
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性與導數的關系，訓練了構造函數法比較大小，考查了推理能力，是中檔題．