Question

20．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow a=（1，2）$．
（1）若|$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求$\overrightarrow b$的坐標(biāo)．
（2）若|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{10}$，且2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$與4$\overrightarrow a-3\overrightarrow c$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，從而可得到$\overrightarrow=k\overrightarrow{a}$，進而$|\overrightarrow|=|k||\overrightarrow{a}|$，這樣便可求出k的值，從而得出$\overrightarrow$的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$與$4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}$垂直便可得出$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}）=0$，根據(jù)條件進行數(shù)量積的運算即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$的值，從而求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$；
∴設(shè)$\overrightarrow=k\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow|=3\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$；
∴$|\overrightarrow|=|k||\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}|k|=3\sqrt{5}$；
∴k=±3；
∴$\overrightarrow=（3，6）$，或$\overrightarrow=（-3，-6）$；
（2）∵$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）⊥（4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}）$，且$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$；
∴$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}）$
=$8{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$
=$40-30-10\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞∈[0，π]$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{4}$．

點評 考查共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，向量垂直的充要條件，以及向量夾角的范圍．