Question

18．（1）證明：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：2+5+8+…+（3n-1）=$\frac{（3n+1）n}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）使用作差法證明即可；
（2）先驗(yàn)證n=1結(jié)論是否成立，再假設(shè)n=k結(jié)論成立，推導(dǎo)n=k+1時(shí)的情況，觀察結(jié)論是否成立，得出結(jié)論．

解答 證明：（1）要證（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
只需證（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²≥0，
即（a²c²+a²d²+c²b²+b²d²）-（a²c²+2abcd+b²d²）≥0
只需證a²d²+c²b²-2abcd≥0
顯然：a²d²+c²b²-2abcd=（ad-bc）²≥0
∴不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²成立．
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=2，故n=1時(shí)，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，
即2+5+8+…+（3k-1）=$\frac{（3k+1）k}{2}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
2+5+8+…+（3k-1）+（3k+2）
=$\frac{（3k+1）k}{2}$+（3k+2）
=$\frac{{3{k^2}+7k+4}}{2}$
=$\frac{{[{3（k+1）+1}]（k+1）}}{2}$
故n=k+1時(shí)，原式也成立．
綜上可知2+5+8+…+（3n-1）=$\frac{（3n+1）n}{2}$（n∈N^*）成立．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明，分析法推理證明．屬于中檔題．