Question

10．已知△AOB內(nèi)接于拋物線y²=4x，焦點F是△AOB的垂心，則點A，B的坐標(biāo)A（5，2$\sqrt{5}$），B（5，-2$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)垂心的性質(zhì)可得A，B關(guān)于x軸對稱，且AF⊥OB，設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）（y₁＞0），則B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，-y₁）．求出AF，OB的斜率，令k_OB•k_AF=-1解出y₁即可得出A，B的坐標(biāo)．

解答 解：拋物線焦點F（1，0），
∵焦點F是△AOB的垂心，
∴直線AB⊥x軸．
∴A，B關(guān)于x軸對稱．
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）（y₁＞0），則B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，-y₁）．
∴k_OB=$\frac{-{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．k_AF=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$．
∵焦點F是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB．
∴k_OB•k_AF=-1，即-$\frac{4}{{y}_{1}}$•$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$=-1，解得y₁=2$\sqrt{5}$．
∴A（5，2$\sqrt{5}$），B（5，-2$\sqrt{5}$）．
故答案為：A（5，2$\sqrt{5}$），B（5，-2$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，三角形垂心的性質(zhì)，屬于中檔題．