Question

7．已知射手甲射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）若甲射擊5次，其擊中目標(biāo)的次數(shù)記為X，求X的期望和方差；
（Ⅱ）假設(shè)甲連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，或者射擊次數(shù)達(dá)到五次，則中止其射擊．甲停止射擊時(shí)已經(jīng)射擊的次數(shù)記為Y，求Y的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷事件是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即可求解期望與方差．
（Ⅱ）假設(shè)甲連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，或者射擊次數(shù)達(dá)到五次，則中止其射擊．甲停止射擊時(shí)已經(jīng)射擊的次數(shù)記為Y，求出Y的可能值，得到概率，即可求Y的分布列．

解答 解：（Ⅰ）甲射擊5次，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
所以$X∽B（5，\frac{2}{5}）$，
所以$EX=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}，DX=5×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{10}{9}$．…（4分）
（Ⅱ）Y的取值為2，3，4，5，
$P（Y=2）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
$P（Y=3）=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$，
$P（Y=4）=（\frac{1}{3}+\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$，
$P（Y=5）=1-P（Y=2）-P（Y=3）-P（Y=4）=\frac{20}{27}$．
所以Y的分布列的分布列為：

Y	2	3	4	5
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{27}$	$\frac{2}{27}$	$\frac{20}{27}$

…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，以及分布列的求法，考查計(jì)算能力．