Question

6．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，b₂+S₃=21，b₃=S₂．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式4T_n＞S₁₅成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d、等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），利用b₂+S₃=21、b₃=S₂聯(lián)立方程組計(jì)算可知q=d=3，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）及等比、等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可知T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$、S₁₅=360，代入化簡即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），
則：b₂+S₃=b₂+3a₂=q+3（3+d）=21，q²=3+（3+d），
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{q+3d=12}\\{{q}^{2}-d=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{q=-\frac{10}{3}}\\{d=\frac{46}{9}}\end{array}\right.$（舍），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公差均為3的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3n，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，S₁₅=$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=360，
∴不等式4T_n＞S₁₅成立等價(jià)于4×$\frac{{3}^{n}-1}{2}$＞360，即3ⁿ＞181，
∵3⁴=81＜181＜3⁵=243，
∴滿足條件的最小正整數(shù)n=5．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．