Question

若正數a,b,c滿足a+b+c=1,
(1)求證:≤a²+b²+c²<1.
(2)求++的最小值.

Answer 1

(1)見解析   (2)

(1)由已知易得0<a,b,c<1,則a-a²=a(1-a)>0,即a>a².
同理可得b>b²,c>c²,則a²+b²+c²<a+b+c=1,
由柯西不等式可得(a²+b²+c²)(1+1+1)≥(a+b+c)²=1(當且僅當a=b=c時取“=”),
即有a²+b²+c²≥(當a=b=c=時取“=”),
綜上有≤a²+b²+c²<1.
(2)由a+b+c=1,
可得(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=5,
且2a+1,2b+1,2c+1均為正數,
則++=(++)(2a+1+2b+1+2c+1),
由柯西不等式可得(++)(2a+1+2b+1+2c+1)
≥(++
)²=9(當且僅當a=b=c時取“=”),
故++的最小值為,
等號當且僅當a=b=c=時取到.