Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且滿足a₁=1，S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），（n≥2）．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）將a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展開變形、化簡可得$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，證出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）由（1）求出S_n的表達式，進而可以求出a_n ．

解答 （1）證明：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴${{S}_{n}}^{2}=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$=${{S}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}{S}_{n}-{S}_{n}{S}_{n-1}+\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$，即數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）解：S₁=a₁=1，∵數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{S}_{1}}$+（n-1）×2=2n-1，∴${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}=-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查由遞推式求等差數(shù)列通項公式及數(shù)列求和，考查轉化思想，屬于中檔題．