Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（2，1），B（-1，1），若點(diǎn)P滿足

OP

=α•

OA

+β•

OB

，其中α，β∈R且2α²+β²=

2

3

． 
1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程.2）設(shè)D（0，2），過(guò)D的直線L與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M點(diǎn)在D，N之間，設(shè)

DM

=λ

DN

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：1）設(shè)P（x，y），由條件

OP

=α•

OA

+β•

OB

，x、y可由α和β表達(dá)，反解出α和β代入2α²+β²=

2

3

．可得x和y的關(guān)系式，此即為點(diǎn)P的軌跡C的方程
2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

DM

=λ

DN

可得x₁=λx₂，
設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立、消元、維達(dá)定理，

解答：解：1）設(shè)P（x，y），由條件

OP

=α•

OA

+β•

OB

，得

α= x+y 3 β= 2y-x 3

，代入2α²+β²=

2

3

．
可得

x2

2

+y2 =1，此即為點(diǎn)P的軌跡C的方程
2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+2，代入橢圓方程得：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
因?yàn)橹本�L與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，
所以△＞0，解得k2＞

3

2

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由維達(dá)定理可得x₁+x₂=

-8k

1+2 k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

由

DM

=λ

DN

可得x₁=λx₂代入上式可得
λ+ 

1

λ

+2 =

( x1+x2)  2

x1x2

=

16

3

-

16

3(1+2k2)

因?yàn)?span id="kecyupl" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">k2＞

3

2

，所以2＜λ+

1

λ

＜

10

3

，解得

1

3

＜λ＜3且λ≠1
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，λ=

1

3

又因?yàn)镸點(diǎn)在D，N之間，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范圍是[

1

3

，1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題、求參數(shù)的范圍問(wèn)題．考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．
注意向量在題目條件中的作用，提供點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系．