Question

平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，命題：
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
③如果k與b都是有理數(shù)，則直線y=kx+b必經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)；
④如果直線l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)，則l必經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)；
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線；
其中的真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①，舉一例子y=x+

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2

，即可說(shuō)明本命題是真命題；
②，舉一反例，k=

2

，b=

2

，則直線y=

2

x+

2

經(jīng)過（-1，0），即可說(shuō)明本命題是假命題；
③，舉例說(shuō)明，k=

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2

，b=

1

3

，則直線y=

1

2

x+

1

3

不經(jīng)過任何整點(diǎn)，可可說(shuō)明本命題是假命題；
④，假設(shè)直線l過兩個(gè)不同的整點(diǎn)，設(shè)直線l為y=kx，把兩整點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程，兩式相減得到兩整點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之差的那個(gè)點(diǎn)也為整點(diǎn)且在直線l上，利用同樣的方法，得到直線l經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，得到本命題為真命題；
⑤，令直線y=

2

x恰經(jīng)過整點(diǎn)（0，0），可說(shuō)明本命題為假命題．

解答： 解：對(duì)于①，令y=x+

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2

，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)，所以本命題正確；
對(duì)于②，若k=

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，b=

2

，則直線y=

2

x+

2

經(jīng)過（-1，0），所以本命題錯(cuò)誤；
對(duì)于③，k=

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，b=

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3

，則直線y=

1

2

x+

1

3

不經(jīng)過任何整點(diǎn)，所以本命題錯(cuò)誤；
對(duì)于④，設(shè)y=kx為過原點(diǎn)的直線，若此直線l過不同的整點(diǎn)（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點(diǎn)代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點(diǎn)，
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，所以本命題正確；
對(duì)于⑤，令直線y=

2

x恰經(jīng)過整點(diǎn)（0，0），所以本命題正確．
綜上，命題正確的序號(hào)有：①④⑤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想與運(yùn)算分析能力，屬于中檔題．